Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，BC=

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AD，PA=PD，Q为AD的中点．
（1）求证：AD⊥平面PBQ；
（2）已知点M为线段PC的中点，证明：PA∥平面BMQ．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）只要得到AD⊥PQ，AD⊥BQ，利用线面垂直的判定定理可得；
（2）连接CA，AC∩BQ=N，只要证明MN∥PA即可．

解答： 证明：（1）△PAD中，PA=PD，Q为AD中点，∴PQ⊥AD，
底面ABCD中，AD∥BC，BC=

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AD，∴DQ∥BC，DQ=BC，
∴BCDQ为平行四边形，
由∠ADC=90°，∴∠AQB=90°，∴AD⊥BQ，
由AD⊥PQ，AD⊥BQ，BQ∩PQ=Q，PQ、BQ?面PBQ，
∴AD⊥平面PBQ．  …（7分）
（2）连接CA，AC∩BQ=N，由AQ∥BC，AQ=BC，∴ABCQ为平行四边形，
∴N为AC中点，
由△PAC中，M、N为PC、AC中点，∴MN∥PA
由MN?面BMQ，PA?面BMQ
∴PA∥面BMQ．…（14分）

点评：本题考查了线面垂直的判定和线面平行的判定，关键是将所求转化为线线问题来解决．