Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C右焦点F（1，0），且e=

1

2

．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B都不是顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用椭圆C右焦点F（1，0），且e=

1

2

，求出a，b，即可求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）直线l：y=kx+m与椭圆联立，利用以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0），可得k_ADk_BD=-1，即可得出结论．

解答： 解：（I）由题意设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
由已知得：e=

1

2

且c=1，
∴a=2，∴b²=a²-c²=3．
∴椭圆的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1．                            …（4分）
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1.

得（3+4k²）x²+8mkx+4（m²-3）=0，

△=64m2k2-16(3+4k2)(m2-3)＞0，即3+4k2-m2＞0 x1+x2=- 8mk 3+4k2 x1•x2= 4(m2-3) 3+4k2 .

…（7分）
又y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=

3(m2-4k2)

3+4k2

，…（8分）
因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0），
∴k_ADk_BD=-1，即

y1

x1-2

•

y2

x2-2

=-1，
∴y₁y₂+x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=0，
∴

3(m2-4k2)

3+4k2

+

4(m2-3)

3+4k2

+

16mk

3+4k2

+4=0，
∴7m²+16mk+4k²=0．
解得：7m+2k=0或m+2k=0…（10分）
∴直线l过点(

2

7

，0)或点（2，0）（舍）                        …（12分）

点评：本题考查圆锥曲线与方程．直线系过定点时，必需是直线系中的参数为但参数，对于含有双参数的直线系，就要找到两个参数之间的关系把直线系方程化为单参数的方程，然后把x，y当作参数的系数把这个方程进行整理，使这个方程关于参数无关的成立的条件就是一个关于x，y的方程组，以这个方程的解为坐标的点就是直线系过的定点．