Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

an

2an+1

（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）设

2

bn

=

1

an

+1，求数列{b_n•b_n+1}的前n项和T_n．
（3）在（2）的条件下，求数列{

1

an

•2 

1

bn

}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）把数列递推式取倒数，得到数列{

1

an

}是以1为首项，以2为公差的等差数列，求出其通项公式后可得
数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）把（1）中求出的通项公式代入

2

bn

=

1

an

+1，整理后得到b_n，代入数列{b_n•b_n+1}后利用裂项相消法求数列的和；
（3）把a_n，b_n代入数列{

1

an

•2 

1

bn

}，整理后利用错位相减法求数列{

1

an

•2 

1

bn

}的前n项和S_n．

解答： 解：（1）由a_n+1=

an

2an+1

，得

1

an+1

-

1

an

=2，又

1

a1

=1，
∴数列{

1

an

}是以1为首项，以2为公差的等差数列，
∴

1

an

=1+2（n-1）=2n-1，得a_n=

1

2n-1

．
（2）由

2

bn

=

1

an

+1，得

2

bn

=2n-1+1=2n，∴b_n=

1

n

，
从而b_n•b_n+1=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
则T_n=b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1=

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

=（

1

1

-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）
=1-

1

n+1

=

n

n+1

．
（3）由（1）（2）可知，

1

an

=2n-1，

1

bn

=n
∴

1

an

•2

1

bn

=（2n-1）•2ⁿ，
∴Sn=1•21+3•22+5•23+7•24+…+(2n-1)•2n，
∴2Sn=1•22+3•23+5•24+…+(2n-3)•2n+(2n-1)•2n+1，
两式作差得：

-Sn=1•21+2•22+2•23+2•24+…+2•2n-(2n-1)•2n+1 =2(21+22+23+24+…+2n)-(2n-1)•2n+1-2 =4•(2n-1)-(2n-1)•2n+1-2

∴Sn=(2n-1)•2n+1+2-4•(2n-1)．

点评：本题考查了数列递推式，考查了裂项相消法、错位相减法求数列的和，是中档题．