Question

二项式（x²-

1

x

+2）⁵的展开式中x³项的系数为

 

．

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：二项式定理

分析：先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r、r′的值，即可求得x³项的系数．

解答： 解：二项式（x²-

1

x

+2）⁵ =[(x2-

1

x

)+2]5 的展开式的通项公式为T_r+1=

C

r 5

•(x2-

1

x

)5-r•2^r．
对于(x2-

1

x

)5-r，它的通项公式为T_r′+1=（-1）^r′•

C

r′ 5-r

•x^10-2r-3r′，
其中，r′≤5-r，0≤r≤5，r、r′都是自然数．
令10-2r-3r′=3，可得

r=2 r′=1

．
∴展开式中x³项的系数为

C

2 5

•2²•（-1）•

C

1 3

=-120，
故答案为：-120．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．