Question

某学生在高考前1个月买了一本数学《高考冲刺压轴卷》，每套试卷中有10道选择题，每道选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项正确．评分标准是“每题仅选一个选项，选对得5分，不选或选错得零分”．假设该生在压轴卷（一）的选择题中确定能做对前6题，第7-9题每题只能排除两个选项是错误的，第10题完全不能理解题意，只能随意猜测．
（1）求该生选择题得满分的概率；
（2）设该学生选择题的得分为X，求X的分布列和数学期望EX，若该生要想每次选择题的平均得分不少于40分，这样才有更大的机会使整卷得到高分120分以上，问是否还应继续努力以提高正确率？

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,互斥事件的概率加法公式

专题：综合题,概率与统计

分析：（1）由题意，该学生必可答对前6道题得30分，其余4道题中有3道题目答对的概率是

1

2

，最后1道题目答对的概率是

1

4

，从而可求该生选择题得满分的概率；
（2）X的所有可能取值是30，35，40，45，50，求出相应的概率，可得X的分布列与期望，即可得出结论．

解答： 解：（1）由题意，该学生必可答对前6道题得30分，其余4道题中有3道题目答对的概率是

1

2

，最后1道题目答对的概率是

1

4

．
记该生选择题得满分为事件M，则P（M）=

C

3 3

•(

1

2

)3•

1

4

=

1

32

．（5分）
（2）X的所有可能取值是30，35，40，45，50．
P（X=30）=

C

3 3

•(

1

2

)3•

3

4

=

3

32

，
P（X=35）=

C

1 3

•

1

2

•(

1

2

)2•

3

4

+

C

3 3

•(

1

2

)3•

1

4

=

5

16

，
P（X=40）=

C

2 3

•(

1

2

)2•

1

2

•

3

4

+

C

1 3

•

1

2

•(

1

2

)2•

1

4

=

3

8

，
P（X=45）=

C

3 3

•(

1

2

)3•

3

4

+

C

2 3

•(

1

2

)2•

1

2

•

1

4

=

3

16

，
P（X=50）=

C

3 3

•(

1

2

)3•

1

4

=

1

32

，
所以X的分布列为

X	30	35	40	45	50
P	3 32	5 16	3 8	3 16	1 32

故EX=30×

3

32

+35×

5

16

+40×

3

8

+45×

3

16

+50×

1

32

=38.75．
因为EX=38.75＜40，所以该学生还应继续努力以提高正确率．（12分）

点评：本题考查概率知识的运用，考查概率的计算，考查随机变量的分布列与期望，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题．