题目内容
已知椭圆
+
=1（a＞b＞0）的离心率e=
，焦距是函数f（x）=x2-8的零点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点，|CD|=
，求k的值．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 3 |
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点，|CD|=
6
| ||
| 5 |
考点：椭圆的简单性质
专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）利用焦距是函数f（x）=x2-8的零点，求出c，利用离心率e=
，求出a，即可求出椭圆的方程；
（2）y=kx+2（k≠0）代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式，即可求k的值．
| ||
| 3 |
（2）y=kx+2（k≠0）代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式，即可求k的值．
解答：
解：（1）∵焦距是函数f（x）=x2-8的零点，
∴2c=2
，∴c=
，
∵e=
=
，∴a=
，
∴椭圆的方程为
+y2=1；
（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），则
y=kx+2（k≠0）代入椭圆方程可得（1+3k2）x2+12kx+9=0，
∴x1+x2=-
，x1x2=
∴|CD|=
•
=
，
∴k2=3，∴k=±
．
∴2c=2
| 2 |
| 2 |
∵e=
| c |
| a |
| ||
| 3 |
| 3 |
∴椭圆的方程为
| x2 |
| 3 |
（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），则
y=kx+2（k≠0）代入椭圆方程可得（1+3k2）x2+12kx+9=0，
∴x1+x2=-
| 12k |
| 1+3k2 |
| 9 |
| 1+3k2 |
∴|CD|=
| 1+k2 |
| (x1+x2)2-4x1x2 |
6
| ||
| 5 |
∴k2=3，∴k=±
| 3 |
点评：本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．
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