题目内容

已知矩阵M=
1
b
的一个特征值λ1=3及对应的一个特征向量
e1
=
.
1
1
.
．
（1）求a，b的值；
（2）求曲线C：x2+4xy+13y2=1在M对应的变换作用下的新曲线的方程．
考点：特征向量的意义
专题：选作题,矩阵和变换
分析：（1）利用矩阵的乘法，可得方程组，即可求a，b的值；
（2）利用矩阵变换，确定坐标之间的关系，即可得到在M对应的变换作用下的新曲线的方程．
解答： 解：（1）由已知
1
b
1
1
=3
1
1
=
3
3
，所以
1+a=3
b+3=3
，解得
a=2
b=0
．…（5分）
（2）设曲线C上任一点P（x，y）在M对应的变换作用下对应点P'（x'，y'），
则
x′
y′
=
1
0
，即
x′=x+2y
y′=3y
，
解得
x=x′-
2
3
y′
y=
1
3
y′
，代入曲线C得x'2+y'2=1．
即曲线C在M对应的变换作用下的新曲线的方程是x2+y2=1．…（10分）
点评：本题考查矩阵的乘法，矩阵变换，确定坐标之间的关系是关键．
练习册系列答案
相关题目
F1，F2分别是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，以O为圆心，OF1为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，若三角形PF1F2的面积为3a2，则双曲线离心率为（　　）
A、
2
B、
3
C、
6
2
D、2
已知函数f（x）=2cos（ωx+
π
3
），ω＞0，x∈R，且以π为最小正周期．
（1）求f（0）的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）已知f（
α
2
-
π
6
）=
8
5
，求sinα的值．
已知数列{an}满足对任意的n∈N*，都有a13+a23+…+an3=（a1+a2+…+an）2且an＞0．
（1）求a1，a2的值；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）设数列{
1
anan+2
}的前n项和为Sn，不等式Sn＞
1
6
（a2-5a+8）对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围．
已知{an}是公差为d的等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是公比为q的等比数列，且a1=b1=3，a3=b2-2，S4=b3-3．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）记cn=anbn，求数列{cn}的前n项和Tn．
淘宝卖家在某商品的所有买家中，随机选择男女买家各50位进行调查，他们的评分等级如下：
评分等级[0，1]（1，2]（2，3]（3，4]（4，5]
女（人数）28101812
男（人数）4919108
（Ⅰ）从评分等级为（3，4]的人中随机选2个人，求恰有1人是女性的概率；
（Ⅱ）规定：评分等级在[0，3]的为不满意该商品，在（3，5]的为满意该商品．完成下列2×2列联表并帮助卖家判断：能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为满意该商品与性别有关系？
满意该商品不满意该商品总计
女
男
总计
已知{an}是公差为d的等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是公比为q的等比数列，且a1=b1=3，a3=b2-2，S4=b3-3．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）记cn=
1
2
（an-1）•bn，求数列{cn}的前n项和Tn．
已知向量
m
=（x，lnx+k），
n
=（1，f（x）），
m
∥
n
，k为常数，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直．
（1）若函数f（x）在区间（s，s+
1
2
）（s＞0）上存在极值，求实数s的取值范围；
（2）对?x∈[1，+∞），不等式f（x）＞
t
x+1
恒成立，求实数t的取值范围．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率e=
6
3
，焦距是函数f（x）=x2-8的零点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点，|CD|=
6
2
5
，求k的值．

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