Question

6．已知f（x）是[-1，1]上的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=log₂（x+1），则（　　）

• A． f（sin$\frac{π}{6}$）＞f（cos$\frac{π}{6}$）
• B． f（sin$\frac{π}{3}$）＜f（cos$\frac{π}{3}$）
• C． f（sin$\frac{2π}{3}$）＞f（cos$\frac{2π}{3}$）
• D． f（sin$\frac{5π}{6}$）＞f（cos$\frac{5π}{6}$）

Answer 1

分析 根据题意，x∈[0，1]时，f（x）=log₂（x+1），则f（x）在区间[0，1]上为增函数，结合函数为偶函数依次分析选项即可得答案．

解答 解：根据题意，x∈[0，1]时，f（x）=log₂（x+1），则f（x）在区间[0，1]上为增函数，
依次分析选项可得：
对于A、sin$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{2}$，cos$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即0＜sin$\frac{π}{6}$＜cos$\frac{π}{6}$＜1，则有f（sin$\frac{π}{6}$）＜f（cos$\frac{π}{6}$），故A错误；
对于B、sin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cos$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$，即0＜cos$\frac{π}{3}$＜sin$\frac{π}{3}$＜1，则有f（sin$\frac{π}{3}$）＞f（cos$\frac{π}{3}$），故B错误；
对于C、sin$\frac{2π}{3}$=sin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cos$\frac{2π}{3}$=-cos$\frac{π}{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即0＜|cos$\frac{2π}{3}$|＜sin$\frac{2π}{3}$＜1，则有f（sin$\frac{2π}{3}$）＞f（cos$\frac{2π}{3}$），故C正确；
对于D、sin$\frac{5π}{6}$=sin$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{2}$，cos$\frac{5π}{6}$=-cos$\frac{π}{6}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即0＜sin$\frac{5π}{6}$＜|cos$\frac{5π}{6}$|＜1，则有f（sin$\frac{5π}{6}$）＜f（cos$\frac{5π}{6}$），故D错误；
故选：C．

点评 本题考查函数的单调性与奇偶性的综合运用，涉及对数函数的图象变化，解题的关键是综合利用函数的奇偶性与单调性．