Question

8．设函数f（x）=x|x-1|+m．
（1）当m=-2时，解关于x的不等式f（x）＞0．
（2）当m＞1时，求函数y=f（x）在[0，m]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）通过讨论x的范围，去掉绝对值号，解不等式即可；（2）先去掉绝对值号再结合二次函数的性质求出函数的最大值即可．

解答 解：（1）x＞1时：f（x）=x²-x-2＞0，解得：x＞2或x＜-1，故x＞2；
x≤1时：f（x）=x-x²-2＞0，不等式无解；
综上：不等式的解集是（2，+∞）；
（2）x∈[0，1]时：f（x）=x（1-x）+m=-${（x-\frac{1}{2}）}^{2}$+m+$\frac{1}{4}$，
当x=$\frac{1}{2}$时：f（x）_max=m+$\frac{1}{4}$，
当x（1，m]时：f（x）=x（x-1）+m=${（x-\frac{1}{2}）}^{2}$+m-$\frac{1}{4}$，
∵函数f（x）在（1，m]递增，
∴f（x）_max=f（m）=m²，
由m²≥m+$\frac{1}{4}$得：m²-m-$\frac{1}{4}$≥0，又m＞1，故m≥$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$，
f（x）_max=$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}，m≥\frac{1++\sqrt{2}}{2}}\\{m+\frac{1}{4}，1＜m＜\frac{1+\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$．

点评 本题考察了解绝对值不等式问题，考察二次函数的性质，是一道中档题．