Question

7．直线l₁：（3+m²）x-m²y+2m²+3=0（m≠0）．
（1）当m=1时，求圆心在直线l₁上且过两点A（-1，0），B（0，1）的圆的标准方程；
（2）若直线l₂过点P（m，$\frac{{m}^{2}-3}{m}$）且与直线l₁平行，证明：直线l₂与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．

Answer 1

分析 （1）m=1时，求出直线l₁的方程，再求出圆心C的坐标与半径r，写出圆C的标准方程；
（2）求出直线l₂的方程，再求l₂与直线x=0、直线y=x的交点M、N，计算△OMN的面积即可．

解答 解：（1）当m=1时，直线l₁的方程为4x-y+5=0，
设圆心为C（x，4x+5），则半径r=|AC|=|BC|，
即$\sqrt{{（x+1）}^{2}{+（4x+5）}^{2}}$=$\sqrt{{{x}^{2}+（4x+4）}^{2}}$，
解得x=-1，
所以y=1，r=1，
圆C的标准方程为（x+1）²+（y-1）²=1；
（2）设直线l₂的方程为：（3+m²）x-m²y+k=0，
且过点P（m，$\frac{{m}^{2}-3}{m}$），
所以m（3+m²）-m²•$\frac{{m}^{2}-3}{m}$+k=0，
解得k=-6m，
所以直线l₂的方程为（3+m²）x-m²y-6m=0（m≠0）；
又直线l₂与直线x=0交于点M（0，-$\frac{6}{m}$），和直线y=x交于点N（2m，2m），
三直线所围成的△OMN面积为S_△OMN=$\frac{1}{2}$|OM|×|x_N|=$\frac{1}{2}$×|-$\frac{6}{m}$|×|2m|=6，是定值．

点评 本题考查了直线与圆的应用问题，也考查了几条直线所围成的面积的计算问题，是综合性题目．