Question

已知点P（a，b）是椭圆

x2

4

+y²=1上的一点，则b

1+a2

的最大值为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据点P是椭圆

x2

4

+y²=1上的一点，利用基本不等式，求出b

1+a2

的最大值．

解答： 解：∵点P（a，b）是椭圆

x2

4

+y²=1上的一点，
∴

a2

4

+b²=1，
即a²+4b²=4；
∴b

1+a2

=

2•2b• 1+a2

4

≤

(2b)2+(1+a2)

4

=

4b2+(1+a2)

4

=

5

4

，
当且仅当2|b|=

1+a2

，即b=±

1+a2

2

时，“=”成立．
∴b

1+a2

的最大值为

5

4

．
故答案为：

5

4

．

点评：本题考查了椭圆的定义与几何性质的应用问题，也考查了基本不等式的应用问题，是综合题目．