Question

设数列{a_n}的前n项的和为S_n，且{

Sn

n

}是等差数列，已知a₁=1，

S2

2

+

S3

3

+

S4

4

=12．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）当n≥2时，a_n+1+

λ

an

≥λ恒成立，求λ的取值范围．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知得

S3

3

=4，从而

Sn

n

=

3

2

n-

1

2

，S_n=

3

2

n2-

1

2

n，由此能求出a_n=3n-2．
（Ⅱ）由已知得3n+1+

λ

3n-2

≥λ，从而

(3n+1)(3n-2)

3(n-1)

≥λ，设b_n=

(3n+1)(3n-2)

3(n-1)

，由b_n的最小值为b2=

28

3

，能求出λ≤

28

3

．

解答： 解：（Ⅰ）∵{

Sn

n

}是等差数列，a₁=1，

S2

2

+

S3

3

+

S4

4

=12．
∴3×

S3

3

=12，∴

S3

3

=4，
∴

Sn

n

=

3

2

n-

1

2

，
∴S_n=

3

2

n2-

1

2

n，
∴a_n=S_n-S_n-1=3n-2，n≥2，
当n=1时也成立，
∴a_n=3n-2．（6分）
（Ⅱ）∵n≥2时，a_n+1+

λ

an

≥λ恒成立，
∴3n+1+

λ

3n-2

≥λ，∴

(3n+1)(3n-2)

3(n-1)

≥λ，（10分）
设b_n=

(3n+1)(3n-2)

3(n-1)

，
b_n+1-b_n=

(3n+1)(3n+4)

3n

-

(3n+1)(3n-2)

3(n-1)

=

(3n+1)(3n-2)

3n(n-1)

＞0，
∴b_n的最小值为b2=

28

3

，
∴λ≤

28

3

．（14分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．