Question

已知△ABC中，∠A=90°，其外接圆的圆心为O，且|

OA

=|

AB

|=2，E，F分别为边AC的两个三等分点，则

BE

•

BF

=

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：利用直角三角形外接圆的性质、直角三角形中含30°角的性质、数量积的运算性质即可得出．

解答： 解：如图所示，
∵△ABC中，∠A=90°，其外接圆的圆心为O，且|

OA

=|

AB

|=2，
∴|

OA

=|

AB

|=2=

1

2

|

BC

|，
∴∠ACB=30°．
∴|

AC

|=2

3

．
∴C(0，2

3

)．
∵E，F分别为边AC的两个三等分点，
∴E(0，

2 3

3

)，F(0，

4 3

3

)．
由B（2，0），
∴

BE

•

BF

=(-2，

2 3

3

)•(-2，

4 3

3

)=4+

8

3

=

20

3

．
故答案为：

20

3

．

点评：本题考查了直角三角形外接圆的性质、直角三角形中含30°角的性质、数量积的运算性质，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．