Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₃+S₄=S₅，a₇=5a₂+2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=（

1

2

）^n-1，求数列{a_nb_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件利用等差数列通项公式和前n项和公式求出首项和公差，由此求出a_n=2n-1（n∈N^*）．
（2）由a_nb_n=（2n-1）（

1

2

）^n-1．利用错位相减法能求出数列{a_nb_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，
由S₃+S₄=S₅，a₇=5a₂+2得：2a₁-d=0，4a₁-d-2=0，
解得：a₁=1，d=2，
∴a_n=2n-1（n∈N^*）…（4分）
（2）令c_n=a_nb_n=（2n-1）（

1

2

）^n-1．则T_n=c₁+c₂+…+c_n，
∴Tn=1•1+3•

1

2

+5•(

1

2

)2+…+(2n-1)•(

1

2

)n-1，①

1

2

Tn=1•

1

2

+3•(

1

2

)2+5•(

1

2

)3+…+(2n-1)•(

1

2

)n，②（6分）
①-②，得

1

2

Tn=1+2[

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1]-（2n-1）•（

1

2

）ⁿ
=1+2[1-（

1

2

）^n-1]-（2n-1）•(

1

2

)n
=3-

2n+3

2n

，（10分）
∴T_n=6-

2n+3

2n-1

．（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．