Question

6．在△ABC中，三个内角分别为A，B，C，已知sin（A+$\frac{π}{6}$）=2cosA．
（1）求角A的值；
（2）若B∈（0，$\frac{π}{3}$），且cos（A-B）=$\frac{4}{5}$，求sinB．

Answer 1

分析 （1）由已知利用特殊角的三角函数值及两角和的正弦函数公式化简可得sinA=$\sqrt{3}$cosA，结合A∈（0，π），可求tanA=$\sqrt{3}$，进而可求A的值．
（2）由已知及（1）可求A-B=$\frac{π}{3}$-B∈（0，$\frac{π}{3}$），利用同角三角函数基本关系式可求sin（A-B）的值，利用B=A-（A-B），根据两角差的正弦函数公式即可计算得解．

解答 （本题满分为10分）
解：（1）因为sin（A+$\frac{π}{6}$）=2cosA，得$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA+$\frac{1}{2}$cosA=2cosA，
即sinA=$\sqrt{3}$cosA，
因为A∈（0，π），且cosA≠0，
所以tanA=$\sqrt{3}$，
所以A=$\frac{π}{3}$．…（4分）
（2）因为B∈（0，π），cos（A-B）=$\frac{4}{5}$，
所以A-B=$\frac{π}{3}$-B∈（0，$\frac{π}{3}$），
因为sin²（A-B）-cos²（A-B）=1，
所以sin（A-B）=$\frac{3}{5}$，…（7分）
所以sinB=sin[A-（A-B）]=sinAcos（A-B）-cosAsin（A-B）=$\frac{4\sqrt{3}-3}{10}$．…（10分）

点评 本题主要考查了特殊角的三角函数值，两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．