Question

1．设f（x）是（-∞，+∞）上的奇函数，f（x+2）=-f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x．当-4≤x≤4时，f（x）的图象与x轴所围成图形的面积是4．

Answer 1

分析 由f（x）是奇函数且f（x+2）=-f（x），知函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称．由此能够求出当-4≤x≤4时，设f（x）的图象与x轴围成的图形面积为S．

解答 解：由f（x）是奇函数且f（x+2）=-f（x），
得f[（x-1）+2]=-f（x-1）=f[-（x-1）]，
即f（1+x）=f（1-x），
故知函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称．
又0≤x≤1时，f（x）=x，
且f（x）的图象关于原点成中心对称，
则f（x）的图象如图所示．

当-4≤x≤4时，设f（x）的图象与x轴围成的图形面积为S，
则S=4×$\frac{1}{2}$×2×1=4．
故答案为：4．

点评 本题考查函数的奇偶性、周期性、对称性的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．