Question

17．设函数f（x）=x²-2x+5，g（x）=mx-$\frac{2}{x}$，若对任意的x₁∈[0，4]，总存在x₂∈[1，4]，使f（x₁）=g（x₂）成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A． [0，6]
• B． [6，7]
• C． [$\frac{27}{8}$，7]
• D． [$\frac{27}{8}$，6]

Answer 1

分析 根据对任意的x₁∈[0，4]，总存在x₂∈[1，4]，使f（x₁）=g（x₂）成立，可得两个函数值域的包含关系，进而根据关于m的不等式组，解不等式组可得答案．

解答 解：由选项可知，m≥0，
∵f（x）=x²-2x+5=（x-1）²+4．g（x）=mx-$\frac{2}{x}$，．
∴当x₁∈[0，4]时，f（x）∈[4，13]，记A=[4，13]．
当m=0时，g（x）=-$\frac{2}{x}$在[1，4]上为增函数，g（x）∈[-2，$\frac{1}{2}$]，记B=[-2，$\frac{1}{2}$]，不符合A⊆B
当m＞0时，g（x）=mx-$\frac{2}{x}$，
g′（x）=m+$\frac{2}{{x}^{2}}$＞0恒成立，
∴g（x）在[1，4]上为增函数，g（x）∈[m-2，4m-$\frac{1}{2}$]，记B=[m-2，4m-$\frac{1}{2}$]，
由题意，知A⊆B
∴B=$\left\{\begin{array}{l}{4≥m-2}\\{13≤4m-\frac{1}{2}}\\{m＞0}\end{array}\right.$，解得$\frac{27}{8}$≤m≤6，
故选：D

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，存在性问题，是函数图象和性质的综合应用，其中存在性问题转化为值域的包含关系难度较大．