Question

已知数列{a_n}前n项和为S_n，首项为a₁，且

1

2

，a_n，S_n成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{b_n}满足b_n=（log₂a_2n+1）×（log₂a_2n+3），求证：

1

b1

+

1

b2

+

1

b3

+…+

1

bn

＜

1

2

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由题意可得2a_n=

1

2

+s_n，令n=1可求a₁，n≥2时，s_n=2a_n-

1

2

，s_n-1=2a_n-1-

1

2

，两式相减可得递推式，由递推式可判断该数列为等比数列，从而可得a_n；
（2）表示出b_n，进而可得

1

bn

，并拆项，利用裂项相消法可求和，由和可得结论．

解答： 解：（1）∵

1

2

，a_n，S_n成等差数列，
∴2a_n=

1

2

+s_n，
当n=1时，2a₁=

1

2

+a₁，解得a₁=

1

2

；
当n≥2时，s_n=2a_n-

1

2

，s_n-1=2a_n-1-

1

2

，两式相减得：a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，
∴

an

an-1

=2，
所以数列{a_n}是首项为

1

2

，公比为2的等比数列，
∴a_n=

1

2

•2^n-1=2^n-2．
（2）b_n=（log₂a_2n+1）×（log₂a_2n+3）
=log222n+1-2×log222n+3-2
=（2n-1）（2n+1），
∴

1

bn

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴

1

b1

+

1

b2

+

1

b3

+…+

1

bn

=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

1

2

-

1

4n+2

＜

1

2

．

点评：本题考查数列与不等式的综合，考查裂项相消法对数列求和，考查等比数列的通项公式，属中档题．