Question

1．已知二次函数f（x）=x²+ax+b的图象经过A（1，-4）、B（-1，0）两点．
（1）关于x的方程f（x）=k有两个不相等的实根，求k的取值范围；
（2）求f（x）在区间[0，4]上的最大值及最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得f（1）=-4，f（-1）=0，解方程可得a，b，进而得到函数的解析式，求得最小值，即可得到k的范围；
（2）求出对称轴，讨论区间和对称轴的关系，得到单调区间，即可得到最值．

解答 解：（1）由f（x）=x²+ax+b的图象经过A（1，-4）、B（-1，0）两点，
得$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=1+a+b=-4}\\{f（-1）=1-a+b=0}\end{array}\right.$，解得a=-2，b=-3，
即有f（x）=x²-2x-3，当x=1时，f（x）取得最小值，且为-4，
由f（x）=k有两个相异的实根，可得k＞-4．
故k的取值范围是（-4，+∞）；
（2）由于二次函数的对称轴x=1，
可得f（x）在区间[0，1]上为减函数，在区间[1，4]上为增函数，
而f（1）=-4，f（4）=5，f（0）=-3，
故f（x）在区间[0，4]上的最小值为-4，最大值为5．

点评 本题考查二次函数的解析式的求法和函数方程的转化思想，考查二次函数在闭区间上的最值的求法，注意讨论对称轴和区间的关系，属于中档题．