Question

6．已知${（{1-2x}）^7}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+…+{a_7}{x^7}$，求：
（1）a₁+a₂+…+a₇；
（2）${（{{a_0}+{a_2}+{a_4}+{a_6}}）^2}-{（{{a_1}+{a_3}+{a_5}+{a_7}}）^2}$．

Answer 1

分析 （1）令x=1得出（1-2x）⁷=a₀+a₁+a₂+…+a₇=-1，x=0得出a₀=1，即可求出a₁+a₂+…+a₇；
（2）令x=1得出a₀+a₁+a₂+…+a₇=-1①，x=-1得出${a_0}-{a_1}+{a_2}-{a_3}+{a_4}-{a_5}+{a_6}-{a_7}={3^7}$②；
再对${（{{a_0}+{a_2}+{a_4}+{a_6}}）^2}-{（{{a_1}+{a_3}+{a_5}+{a_7}}）^2}$分解因式．

解答 解：（1）当x=1时，（1-2x）⁷=（1-2）⁷=-1，
展开式变为a₀+a₁+a₂+…+a₇=-1，
当x=0时，a₀=1，
∴a₁+a₂+…+a₇=-1-1=-2；
（2）由展开式知：a₁，a₃，a₅，a₇均为负，
a₀，a₂，a₄，a₆均为正；
令x=1，a₀+a₁+a₂+…+a₇=-1①，
令x=-1，${a_0}-{a_1}+{a_2}-{a_3}+{a_4}-{a_5}+{a_6}-{a_7}={3^7}$②；
∴${（{{a_0}+{a_2}+{a_4}+{a_6}}）^2}-{（{{a_1}+{a_3}+{a_5}+{a_7}}）^2}$
=（a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆+a₇）（a₀-a₁+a₂-a₃+a₄-a₅+a₆-a₇）
=-1×3⁷
=-3⁷．

点评 本题考查了用特殊值求多项式系数的应用问题，也考查了整体思想与因式分解的应用问题，是基础题目．