Question

11．定义域为R的函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{|x-2|}（x≠2）}\\{1（x=2）}\end{array}\right.$，若关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0恰有5个不同的实数解x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，则f（x₁+x₂+x₃+x₄+x₅）等于$\frac{1}{8}$．

Answer 1

分析 根据条件作出函数f（x）的图象，根据方程f²（x）+bf（x）+c=0恰有5个不同的实数解，得到这5个根x₁，x₂，…，x₅ 也关于直线x=2对称，利用函数的对称性进行求解即可得到结论．

解答 解：作出f（x）的图象如图：
设t=f（x），
由图象知当t=1时，方程t=f（x）有3个根，
当0＜t＜1或t＞1时，方程t=f（x）有2个根，
则方程f²（x）+bf（x）+c=0等价为t²+bt+c=0，
则方程f²（x）+bf（x）+c=0恰有5个不同的实数解x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，
则等价为方程t²+bt+c=0有两个根t₁=1或0＜t₂＜1或t₂＞1，
可得这5个根x₁，x₂，…，x₅ 也关于直线x=2对称，
∴x₁+x₂+…+x₅ =10，
∴f（x₁+x₂+…+x₅）=f（10）=$\frac{1}{|10-2|}$=$\frac{1}{8}$，
故答案为：$\frac{1}{8}$

点评 本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，关键是根据函数的图象关于x=2对称，得出5个根也关于直线x=2对称，从而求得x₁+x₂+…+x₅ =10，属于中档题．