Question

【题目】已知函数f（x）=（x2﹣3x+3）ex的定义域为[﹣2，t]，设f（﹣2）=m，f（t）=n．
（1）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数；
（2）求证：m＜n；

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f′（x）=（2x﹣3）ex+（x2﹣3x+3）ex=x（x﹣1）ex，

由f′（x）＞0可得，x＞1或x＜0；

由f′（x）＞＜0可得，0＜x＜1；

∴f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上递增，在（0，1）上递减，

欲f（x）在[﹣2，t]上为单调函数，

则﹣2＜t≤0；

∴t的取值范围为（﹣2，0]

（2）证明：∵f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上递增，在（0，1）上递减，

∴f（x）在x=1处取得极小值e，

又∵f（﹣2）=m= ＜e=f（1），

∴f（x）在[﹣2，+∞）上的最小值为f（﹣2）．

从而当t＞﹣2时，f（﹣2）＜f（t），即m＜n（3）求证：对于任意的t＞﹣2，总存在x0∈（﹣2，t），满足 = （t﹣1）2；又若方程 = （t﹣1）2；在（﹣2，t）上有唯一解，请确定t的取值范围．

证明：∵ = ﹣x0，

∴ = （t﹣1）2可化为 ﹣x0= （t﹣1）2，

令g（x）=x2﹣x﹣ （t﹣1）2，

则证明方程x2﹣x﹣ （t﹣1）2=0在（﹣2，t）上有解，并讨论解的个数．

∵g（﹣2）=6﹣ （t﹣1）2=﹣ （t+2）（t﹣4），

g（t）=t（t﹣1）﹣ （t﹣1）2= （t+2）（t﹣1），

①当t＞4或﹣2＜t＜1时，

g（﹣2）g（t）＜0，则方程x2﹣x﹣ （t﹣1）2=0在（﹣2，t）上有且只有一解；

②当1＜t＜4时，g（﹣2）＞0，且g（t）＞0，

又∵g（0）=﹣ （t﹣1）2＜0，

∴方程x2﹣x﹣ （t﹣1）2=0在（﹣2，t）上有解，且有两解；

③当t=1时，g（x）=x2﹣x=0，

从而解得，x=0或x=1，

故方程x2﹣x﹣ （t﹣1）2=0在（﹣2，t）上有且只有一解；

④当t=4，g（x）=x2﹣x﹣6=0，

从而解得，x=﹣2或x=3，

故方程x2﹣x﹣ （t﹣1）2=0在（﹣2，t）上有且只有一解；

综上所述，对于任意的t＞﹣2，总存在x0∈（﹣2，t），满足 = （t﹣1）2；

当方程 = （t﹣1）2在（﹣2，t）上有唯一解时，t的取值范围为（﹣2，1]∪[4，+∞）

【解析】（1）求导得f′（x）=（2x﹣3）ex+（x2﹣3x+3）ex=x（x﹣1）ex ， 从而可得f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上递增，在（0，1）上递减，从而确定t的取值范围；（2）借助（1）可知，f（x）在x=1处取得极小值e，求出f（﹣2）=m= ＜e，则f（x）在[﹣2，+∞）上的最小值为f（﹣2），从而得证；（3）化简 = ﹣x0 ， 从而将 = （t﹣1）2化为 ﹣x0= （t﹣1）2 ， 令g（x）=x2﹣x﹣ （t﹣1）2 ， 则证明方程x2﹣x﹣ （t﹣1）2=0在（﹣2，t）上有解，并讨论解的个数；由二次函数的性质讨论即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．