Question

17．已知椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，A、B为椭圆C的左、右顶点，P为椭圆C上不同于A、B的动点，直线x=4与直线PA、PB分别交于M、N两点，若D（7，0），则过D、M、N三点的圆必过x轴上不同于点D的定点，其坐标为（1，0）．

Answer 1

分析 设A（-2，0），B（2，0），P（x₀，y₀），由椭圆方程和直线的斜率公式，以及两直线垂直的条件，计算即可得到定点坐标．

解答 解：设A（-2，0），B（2，0），P（x₀，y₀），
则$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{3}$=1，即有y₀²=3（1-$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$），
设PA，PB的斜率为k₁，k₂，
则k₁•k₂=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$•$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$=$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-4}$=-$\frac{3}{4}$，
设PA：y=k₁（x+2），
则M（4，6k₁），
PB：y=k₂（x-2），则N（4，2k₂），
又k_DM=-$\frac{6{k}_{1}}{3}$=-2k₁，k_DN=-$\frac{2}{3}$k₂，k_DM•k_DN=-1，
设圆过定点F（m，0），则$\frac{6{k}_{1}}{4-m}$•$\frac{2{k}_{2}}{4-m}$=-1，
解得m=1或m=7（舍去），
故过点D，M，N三点的圆是以MN为直径的圆过F（1，0）．
故答案为：（1，0）．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查离心率公式的运用，同时考查直线的斜率公式的运用，圆的直径所对的圆周角为直角，属于中档题．