Question

12．已知函数f_t（x）=cos²x+2tsinxcosx-sin²x
（1）若${f_1}（\frac{α}{2}）=\frac{3}{4}$，试求sin2α的值．
（2）定义在$[{-\frac{π}{4}，\frac{5π}{6}}]$上的函数g（x）的图象关于x=$\frac{7π}{24}$对称，且当x≤$\frac{7π}{24}$时，g（x）的图象与$y={f_{\sqrt{3}}}$（x）的图象重合．记M_α={x|g（x）=α}且M_α≠∅，试求M_α中所有元素之和．

Answer 1

分析 （1）由倍角公式，降幂公式化简已知等式可得sinα+cosα=$\frac{3}{4}$，两边平方，由倍角公式即可得解．
（2）依题意得，${f_{\sqrt{3}}}（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）=g（x）$，由$x∈[{-\frac{π}{4}，\frac{7π}{24}}]$，可求g（x）∈[-$\sqrt{3}$，2]，记M_α中所有的元素之和为S，由图象及对称性分类讨论即可得解．

解答 （本题满分为15分）
解：（1）∵由题意可得：${f_1}（\frac{α}{2}）={cos^2}\frac{α}{2}+2sin\frac{α}{2}cos\frac{α}{2}-{sin^2}\frac{α}{2}=sinα+cosα=\frac{3}{4}$，
又∵${（{sinα+cosα}）^2}=1+sin2α=\frac{9}{16}$，
∴$sin2α=-\frac{7}{16}$．（6分）
（2）依题意得，${f_{\sqrt{3}}}（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）=g（x）$，
∵$x∈[{-\frac{π}{4}，\frac{7π}{24}}]$，∴$2x+\frac{π}{6}∈[{-\frac{π}{3}，\frac{3π}{4}}]$，可得：g（x）∈[-$\sqrt{3}$，2]．
记M_α中所有的元素之和为S，由图象及对称性得：
当$-\sqrt{3}≤a＜\sqrt{2}$时，$S=2×\frac{7π}{24}=\frac{7π}{12}$，
当$a=\sqrt{2}$时，$S=3×\frac{7π}{24}=\frac{7π}{8}$，
当$\sqrt{2}＜a＜2$时，$S=4×\frac{7π}{24}=\frac{7π}{6}$，
当a=2时，$S=2×\frac{7π}{24}=\frac{7π}{12}$．（15分）

点评 本题主要考查了倍角公式，降幂公式的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．