Question

5．已知幂函数f（x）=x${\;}^{-{m}^{2}+2m+3}$（m∈z）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调增函数
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）=$\frac{1}{4}$f（x）+ax³+x²-b（x∈R），其中a，b∈R．若函数g（x）仅在x=0处有极值，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用f（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数，推出m的不等式没任何求出m值，求出函数的解析式．
（2）求出函数的g′（x），为使g（x）仅在x=0处有极值，必须x²+3ax+9≥0恒成立，然后求出a的范围．

解答 解：（1）∵f（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数，∴-m²+2m+3＞0，
即m²-2m-3＜0，∴-1＜m＜3，又m∈Z，∴m=0，1，2…4分
而m=0，2时，f（x）=x³不是偶函数，m=1时，f（x）=x⁴是偶函数，
∴f（x）=x⁴．…6分
（2）g′（x）=x（x²+3ax+9），显然x=0不是方程x²+3ax+9=0的根．
为使g（x）仅在x=0处有极值，必须x²+3ax+9≥0恒成立，…8分
即有△=9a²-36≤0，解不等式，得a∈[-2，2]．…11分
这时，g（0）=-b是唯一极值．∴a∈[-2，2]．…12分．

点评 本题考查函数的极值的求法，函数的恒成立条件的应用，考查转化思想以及计算能力．