题目内容
已知△ABC三个顶点坐标分别为：A（1，0），B（1，4），C（3，2），直线l经过点（0，4）．
（1）求△ABC外接圆⊙M的方程；
（2）若直线l与⊙M相切，求直线l的方程；
（3）若直线l与⊙M相交于A，B两点，且AB=2
，求直线l的方程．
（1）求△ABC外接圆⊙M的方程；
（2）若直线l与⊙M相切，求直线l的方程；
（3）若直线l与⊙M相交于A，B两点，且AB=2
| 3 |
考点：直线和圆的方程的应用,圆的一般方程
专题：综合题,直线与圆
分析：（1）确定△ACB是等腰直角三角形，因而△ACB圆心为（1，2），半径为2，即可求△ABC外接圆⊙M的方程；
（2）当直线l与x轴垂直时，显然不合题意，因而直线l的斜率存在，设l：y=kx+4，由题意知
=2，求出k，即可求直线l的方程；
（3）分类讨论，利用勾股定理，可得直线l的方程．
（2）当直线l与x轴垂直时，显然不合题意，因而直线l的斜率存在，设l：y=kx+4，由题意知
| |k-2+4| | ||
|
（3）分类讨论，利用勾股定理，可得直线l的方程．
解答：
解：（1）∵A（1，0），B（1，4），C（3，2），
∴
=（-2，-2），
=（-2，2），
∴
•
=0，|
|=|
|，则△ACB是等腰直角三角形，
因而△ACB圆心为（1，2），半径为2，∴⊙M的方程为（x-1）2+（y-2）2=4．
（2）当直线l与x轴垂直时，显然不合题意，因而直线l的斜率存在，设l：y=kx+4，
由题意知
=2，解得k=0或k=
，…（8分）
故直线l的方程为y=4或4x-3y+12=0．…（10分）
（3）当直线l与x轴垂直时，l方程为x=0，它截⊙M得弦长恰为2
；…（12分）
当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+4，
∵圆心到直线y=kx+4的距离
，
由勾股定理得(
)2+(
)2=4，解得k=-
，…（14分）
故直线l的方程为x=0或3x+4y-16=0． …（16分）
∴
| CA |
| CB |
∴
| CA |
| CB |
| CA |
| CB |
因而△ACB圆心为（1，2），半径为2，∴⊙M的方程为（x-1）2+（y-2）2=4．
（2）当直线l与x轴垂直时，显然不合题意，因而直线l的斜率存在，设l：y=kx+4，
由题意知
| |k-2+4| | ||
|
| 4 |
| 3 |
故直线l的方程为y=4或4x-3y+12=0．…（10分）
（3）当直线l与x轴垂直时，l方程为x=0，它截⊙M得弦长恰为2
| 3 |
当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+4，
∵圆心到直线y=kx+4的距离
| |k+2| | ||
|
由勾股定理得(
| |k+2| | ||
|
2
| ||
| 2 |
| 3 |
| 4 |
故直线l的方程为x=0或3x+4y-16=0． …（16分）
点评：本题考查直线和圆的方程的应用，考查直线、圆的方程，考查点到直线的距离公式，属于中档题．
练习册系列答案
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