题目内容
椭圆C：| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 4 |
| 3 |
| 14 |
| 3 |
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l过圆（x+2）2+（y-1）2=5的圆心M交椭圆于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）由椭圆的定义，可得2a=6，a=3，再由勾股定理，即可得到c，再由a，b，c的关系，解得b，进而得到椭圆方程；
（2）设出直线l的方程，联立椭圆方程，消去y，得到x的方程，由中点坐标公式，即可得到k，检验判别式，即可得到直线方程．
（2）设出直线l的方程，联立椭圆方程，消去y，得到x的方程，由中点坐标公式，即可得到k，检验判别式，即可得到直线方程．
解答：
解：（1）由于|PF1|+|PF2|=2a=
+
=6，则a=3，
由PF1⊥F1F2，则|PF2|2-|PF1|2=|F1F2|2=（
）2-（
）2=20，
即有2c=2
，则c=
，b2=a2-c2=9-5=4，即b=2．
故椭圆C方程为：
+
=1；
（2）设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
由圆的方程（x+2）2+（y-1）2=5，可知圆心M为（-2，1），
可设直线l的方程为：y=k（x+2）+1，代入椭圆C的方程，可得，
（4+9k2）x2+（36k2+18k）x+36k2+36k-27=0，
由于A，B关于点M对称，则
=-
=-2，解得k=
，
代入判别式△=（36k2+18k）2-4（4+9k2）（36k2+36k-27）＞0，则成立．
所以直线l的方程为y=
（x+2）+1，即8x-9y+25=0．
| 4 |
| 3 |
| 14 |
| 3 |
由PF1⊥F1F2，则|PF2|2-|PF1|2=|F1F2|2=（
| 14 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
即有2c=2
| 5 |
| 5 |
故椭圆C方程为：
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 4 |
（2）设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
由圆的方程（x+2）2+（y-1）2=5，可知圆心M为（-2，1），
可设直线l的方程为：y=k（x+2）+1，代入椭圆C的方程，可得，
（4+9k2）x2+（36k2+18k）x+36k2+36k-27=0，
由于A，B关于点M对称，则
| x1+x2 |
| 2 |
| 18k2+9k |
| 4+9k2 |
| 8 |
| 9 |
代入判别式△=（36k2+18k）2-4（4+9k2）（36k2+36k-27）＞0，则成立．
所以直线l的方程为y=
| 8 |
| 9 |
点评：本题考查椭圆的定义吧、方程和性质，考查联立直线方程和椭圆方程，消去未知数，运用韦达定理，以及中点坐标公式，注意不要忘记判别式的检验，属于中档题和易错题．
练习册系列答案
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设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：其中正确命题的序号是（ ）
①若 m⊥α，n∥α，则m⊥n；
②若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥β；
③若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；
④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．
①若 m⊥α，n∥α，则m⊥n；
②若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥β；
③若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；
④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．
| A、①和③ | B、②和③ |
| C、③和④ | D、①和④ |