Question

以下命题正确的是

 

．
①若a²+b²=8，则ab的最大值为4；
②若数列{a_n}的通项公式为a_n=2ⁿ+2n-1，则数列{a_n}的前n项和为2ⁿ⁺¹+n²-2；
③若x∈R，则x+

4

x-2

的最小值为6；
④已知数列{a_n}的递推关系a₁=1，a_n=3a_n-1+2（n≥2，n∈N^*），则通项a_n=2•3ⁿ-1．
⑤已知

1≤x+y≤3 -1≤x-y≤1

则4x+2y的取值范围是[0，12]．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：①由a²+b²≥2ab，可得，2ab≤8利用不等式判断；
②S_n=（2¹+2²+2³+…+2ⁿ）+2（1+2+3+…+n）-n可求结果；
③x∈R，则x+

4

x-2

的值可以为负值，最小值不为6；
④若通项a_n=2•3ⁿ-1，验证a₁是否成立；
⑤4x+2y=3（x+y）+（x-y），故2≤3（x+y）+（x-y）≤11，可求范围．

解答： 解：①由a²+b²≥2ab，可得，2ab≤8，∴ab，4即ab的最大值4，①正确；
②S_n=（2¹+2²+2³+…+2ⁿ）+2（1+2+3+…+n）-n=

2(1-2n)

1-2

+2•

(1+n)n

2

-n=2ⁿ⁺¹+n²-2，②正确；
③x∈R，则x+

4

x-2

的值可以为负值，最小值不为6，∴③错误；
④若通项a_n=2•3ⁿ-1，则a₁=2•3-1=5，而得a₁=1，∴④错误；
⑤4x+2y=3（x+y）+（x-y），∴2≤3（x+y）+（x-y）≤11，∴⑤错误．
故答案为：①②．

点评：本题虽然考查简易逻辑的知识，但牵扯到的知识较为广泛，答题时应仔细认真．