Question

在探究函数f（x）=x³+

3

x

，x∈（-∞，0）∪（0，+∞）的最值中，
（Ⅰ）先探究函数y=f（x）在区间（0，+∞）上的最值，列表如下：

x	…	0.1	0.2	0.5	0.7	0.9	1	1.1	1.2	1.3	2	3	4	5	…
y	…	30.0	15.01	6.13	4.6	4.06	4	4.06	4.23	4.50	9.5	28	64.75	125.6	…

观察表中y值随x值变化的趋势，知x=

 

时，f（x）有最小值为

 

；
（Ⅱ）再依次探究函数y=f（x）在区间（-∞，0）上以及区间（-∞，0）∪（0，+∞）上的最值情况（是否有最值？是最大值或最小值？），请写出你的探究结论，不必证明；
（Ⅲ）设g（x）=3x²+

1

x2

，若g（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-1，1]上恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）由表看出x=1时，f（x）有最小值是4；
（Ⅱ）可以证明函数为奇函数，则可以利用f（-x）=-f（x）得出函数在（-∞，0）的函数值对应表，可得在区间（-∞，0）上，x=-1时，取得最大值-4，然后利用函数图象关于原点对称，可知图象趋向无穷大，无最值，（Ⅲ）令2^x=t换元化简，然后再令

1

t

=x，换元将恒成立问题转化为最值问题求解，可以利用本题中（Ⅰ）的结论求最值．

解答： 解：（Ⅰ）x=1时，f（x）有最小值是4；
（Ⅱ）探究函数y=f（x）在区间（-∞，0）上的最值，列表如下：

x	…	-0.1	-0.2	-0.5	-0.7	-0.9	-1	-1.1	-1.2	-1.3	-2	-3	-4	-5	…
y	…	-30.0	-15.01	-6.13	-4.6	-4.06	-4	-4.06	-4.23	-4.50	-9.5	-28	-64.75	-125.6	…

综合上表，在区间（-∞，0）上，x=-1时，取得最大值-4，
在区间（-∞，0）∪（0，+∞）上，函数无最值，
（Ⅲ）令2^x=t，由x∈[-1，1]得t∈[

1

2

，2]，
则g（2^x）-k•2^x≥0换元得g（t）-kt≥0，即k≤

g(t)

t

=

3t2+ 1 t2

t

=3t+

1

t3

，
再令

1

t

=x，由t∈[

1

2

，2]得x∈[

1

2

，2]，换元得k≤x³+

3

x

，
即求解k≤x³+

3

x

，对于x∈[

1

2

，2]恒成立，
由（Ⅰ）可知f（x）=x³+

3

x

在区间（0，+∞）上，x=1时，f（x）有最小值是4，
则x∈[

1

2

，2]时，x³+

3

x

≥4，
则k≤4．

点评：本题考察函数的性质及最值问题，难点在（Ⅲ）中通过两次换元转化为f（x）=x³+

3

x

在区间[

1

2

，2]上的最值求解，同时注意换元时引入参数要注明参数范围．