Question

已知数列{a_n}中，a₁=3，a_n+1=a_n+2．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若b_n=a_n×3ⁿ，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）利用“错位相减法”及等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}中，a₁=3，a_n+1=a_n+2，即a_n+1-a_n=2．
∴数列{a_n}是等差数列，
∴a_n=3+（n-1）×2=2n+1．
（2）由（1）可得b_n=a_n×3ⁿ=（2n+1）•3ⁿ．
∴数列{b_n}的前n项和S_n=3×3+5×3²+…+（2n+1）•3ⁿ，
3S_n=3×3²+5×3³+…+（2n-1）•3ⁿ+（2n+1）•3ⁿ⁺¹，
∴-2S_n=9+2×3²+2×3³+…+2×3ⁿ-（2n+1）•3ⁿ⁺¹=3+

2×3×(3n-1)

3-1

-（2n+1）•3ⁿ⁺¹
=3ⁿ⁺¹-（2n+1）•3ⁿ⁺¹=-2n•3ⁿ⁺¹．
∴S_n=n•3ⁿ⁺¹．

点评：本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及前n项和公式，考查了计算能力，属于中档题．