Question

19．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积是$\frac{\sqrt{3}}{3}$，表面积是$\sqrt{3}$+1+$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 由三视图可知：该几何体是如图所示的三棱锥，其中侧面PAC⊥面ABC，△PAC是边长为2的正三角形，△ABC是边AC=2，边AC上的高OB=1，PO=$\sqrt{3}$为底面上的高．据此可计算出表面积和体积．

解答 解：由三视图可知：该几何体是如图所示的三棱锥，

其中侧面PAC⊥面ABC，△PAC是边长为2的正三角形，△ABC是边AC=2，
边AC上的高OB=1，PO=$\sqrt{3}$为底面上的高．
于是此几何体的体积V=$\frac{1}{3}$S_△ABC•PO=$\frac{1}{3}•$$\frac{1}{2}$×2×1×$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
几何体的表面积S=S_△PAC+S_△ABC+2S_△PAB=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×2+$\frac{1}{2}$×2×1+2×$\frac{1}{2}$×$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$×$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{{1}^{2}+{1}^{2}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{3}$+1+$\sqrt{7}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{3}$+1+$\sqrt{7}$．

点评 本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．