Question

11．已知如图，ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，D是AC的中点．
（1）求证：AB₁∥平面DBC₁；
（2）若AB₁⊥BC₁，求以BC₁为棱DBC₁与CBC₁为面的二面角的度数．

Answer 1

分析 （1）连结B₁C，交BC₁于点O，连结OD，由已知得OD∥AB₁，由此能证明AB₁∥平面DBC₁．
（2）根据二面角的定义作出二面角的平面角，根据三角形的边角关系 进行求解即可．

解答 证明：（1）连结B₁C，交BC₁于点O，连结OD，
∵A₁B₁C₁-ABC是正三棱柱，
∴BCC₁B₁是矩形，∴O是B₁C的中点，
又D是AC的中点，∴OD∥AB₁，
∵OD?平面DBC₁，AB₁?平面DBC₁，
∴AB₁∥平面DBC₁．
（2）在平面ABC内，作DF⊥BC于F，则DF⊥面B₁BCC₁，
连接OF，则OF是OD在底面的射影，
∵AB₁⊥BC₁，∴由（1）知，AB₁∥DE，
∴DE⊥BC₁，
由三垂线逆定理得BC₁⊥EF，
则∠DOF是以BC₁为棱DBC₁与CBC₁为面的二面角的平面角，设为θ，
设AC=1，则CD=$\frac{1}{2}$，则DF=CD$•\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，CF=$\frac{1}{4}$，
取BC的中点G，
∵OB=OC，∴GO⊥BC，
则GF=CF=$\frac{1}{4}$，OF=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
则tan∠DOF=$\frac{DF}{OF}$=1，
即∠DOF=45°．
即二面角的平面角为45°．

点评 本题主要考查线面平行的判定，以及二面角的求解，利用线面平行的判定定理以及二面角的定义作出二面角的平面角是解决本题的关键．