Question

已知椭圆M、抛物线N的焦点均在x轴上的，且M的中心和M的顶点均为原点O，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：

x	3	-2	4	2
y	-2 3	0	-4	2 2

（Ⅰ）求M，N的标准方程；
（Ⅱ）已知定点A（1，

1

2

），过原点O作直线l交椭圆M于B，C两点，求△ABC面积的最大值和此时直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）设抛物线M：y²=2px（p≠0），则有

y2

x

=2p（x≠0），据此验证4个点知（3，-2

3

），（4，-4）在抛物线上，可得N的标准方程，将另外两点代入椭圆方程，可求M的标准方程；
（Ⅱ）分类讨论，当直线BC不垂直于x轴时，设该直线方程为y=kx，代入椭圆方程，表示出面积，利用换元法，即可求得结论．

解答： 解：（Ⅰ）设抛物线M：y²=2px（p≠0），则有

y2

x

=2p（x≠0）
据此验证4个点知（3，-2

3

），（4，-4）在抛物线上，
∴N的标准方程为y²=4x．…（2分）
设M：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），把点（-2，0），（

2

，

2

2

）
代入得：

4 a2 =1 2 a2 + 1 2b2 =1

，解得a²=4，b²=1
∴M的标准方程为

x2

4

+y²=1；                                           （6分）
（Ⅱ）当直线BC垂直于x轴时，BC=2，则S_△ABC=1
当直线BC不垂直于x轴时，设该直线方程为y=kx，
代入椭圆方程，消y得x²=

4

4k2+1

不妨设B（

2

4k2+1

，

2k

4k2+1

），C（-

2

4k2+1

，-

2k

4k2+1

），
∴|BC|=

(xB-xA)2+(yB-yA)2

=

4 1+k2

4k2+1

                                     （9分）
∵点A到直线BC的距离d=

|k- 1 2 |

1+k2

∴S_△ABC=

1

2

|BC|×d=

|2k-1|

4k2+1

=

4k2-4k+1

4k2+1

=

1- 4k 4k2+1

，（12分）
令t=

4k

4k2+1

，则4tk²-4k+t=0，
由△_k=16-16t²≥0得-1≤t≤1
∴当

4k

4k2+1

=-1时，面积取得最大值

2

，此时k=-

1

2

．
综上所述，当直线的方程为y=-

1

2

x时，△ABC的面积取得最大值

2

         （14分）

点评：本题考查抛物线、椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．