Question

已知向量

a

=（cosθ，

2

sinθ），

b

=（sinθ，0），其中θ∈R．
（Ⅰ）当θ=

π

3

时，求

a

•

b

的值；
（Ⅱ）当θ∈[0，

π

2

]时，求（

a

+

b

）²的最大值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,三角函数的求值,平面向量及应用

分析：（Ⅰ）运用向量的数量积的坐标表示和特殊角的三角函数值，即可计算得到；
（Ⅱ）运用向量的数量积的坐标表示和性质，结合二倍角公式和两角差的正弦公式，由正弦函数的图象和性质，即可得到最大值．

解答： 解：（Ⅰ）当θ=

π

3

时，

a

=(

1

2

，

6

2

)，

b

=(

3

2

，0)，
∴

a

•

b

=

1

2

×

3

2

+

6

2

×0=

3

4

；
（Ⅱ）由题意得：(

a

+

b

)2=

a

2+2

a

•b

+

b

2
=cos2θ+(

2

sinθ)2+2(cosθ•sinθ+

2

sinθ•0)+sin2θ+02
=2cosθ•sinθ+2sin²θ+1=sin2θ+2-cos2θ=

2

sin(2θ-

π

4

)+2，
∵0≤θ≤

π

2

，∴-

π

4

≤2θ-

π

4

≤

3π

4

．
∴当2θ-

π

4

=

π

2

即θ=

3π

8

时，
(

a

+

b

)2取得最大值，且为

2

+2．

点评：本题考查平面向量的数量积的坐标运算和性质，考查二倍角公式和两角差的正弦公式的运用，考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．