Question

等差数列{a_n}中，a₁=-1，公差d≠0且a₂，a₃，a₆成等比数列，前n项的和为S_n．
（1）求a_n及S_n；
（2）设b_n=

1

anan+1

，T_n=b₁+b₂+…+b_n，求T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由a₂，a₃，a₆成等比数列可得（-1+d）•（-1+5d）=（-1+2d）²，求出d后代入等差数列的通项公式可得a_n=-1+2（n-1）=2n-3．代入等差数列的前n项和求得S_n；
（2）把a_n代入b_n=

1

anan+1

，然后由裂项相消法求得T_n．

解答： 解：（1）由题意可得a2•a6=a32，
又∵a₁=-1，∴（-1+d）•（-1+5d）=（-1+2d）²，
解得：d=2．
∴a_n=-1+2（n-1）=2n-3．
Sn=-n+

n(n-1)×2

2

=n2-2n；
（2）bn=

1

anan+1

=

1

(2n-3)(2n-1)

=

1

2

(

1

2n-3

-

1

2n-1

)，
∴Tn=b1+b2+…+bn=

1

2

[(

1

-1

-

1

1

)+(

1

1

-

1

3

)+…+(

1

2n-3

-

1

2n-1

)]
=

1

2

(-1-

1

2n-1

)=-

n

2n-1

．

点评：本题考查了等比数列的性质，考查了裂项相消法求数列的和，是中档题．