Question

如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=

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a，点E在PD上，且PE：ED=2：1．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角B-PA-D的大小；
（Ⅲ）在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）证明BD⊥PO，BD⊥AC，利用线面垂直的判定定理证明BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）证明∠BAD为二面角B-PA-D的平面角，即可求解；
（Ⅲ）设F为PC中点，取PE中点G，连接FG、BG，设AC、BD交于O，连接OE，由三角形中位线定理可得GF∥EC，OE∥BP，根据面面平行的判定定理可得平面BGF∥平面AEC，由面面平行的性质可得BF∥平面AEC．

解答： 解：设BD∩AC=O，则
∵ABCD是菱形，PB=PD，
∴BD⊥PO，BD⊥AC，
∵AC∩PO=O，
∴BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）∵PA=AC=a，PB=PD=

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a，∠ABC=60°，
∴AB=BC=AC=a，∠PAB=∠PAD=90°，
∴∠BAD为二面角B-PA-D的平面角，
∴二面角B-PA-D的大小为120°；
（Ⅲ）设F为PC中点，取PE中点G，连接FG、BG
设AC、BD交于O，连接OE
由PG=GE，PF=FC得GF∥EC
由DO=OB，DE=EG得OE∥BG
∴平面BGF∥平面AEC
∴BF∥平面AEC
∴F是PC中点时，BF∥平面AEC．

点评：本题考查直线与平面平行的判定，二面角的求法，直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，转化思想，是中档题．