Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，对角线A₁C与平面BDC₁交于点O．AC、BD交于点M、E为AB的中点，F为AA₁的中点，
求证：（1）C₁、O、M三点共线
（2）E、C、D₁、F四点共面
（3）CE、D₁F、DA三线共点．

Answer 1

考点：平面的基本性质及推论

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）利用C₁、O、M三点在平面ACC₁A₁与平面BDC₁的交线上，证明三点共线；
（2）利用EF∥CD₁，证明E、F、C、D₁四点共面；
（3）证明CE与D₁F的交点P在平面ABCD与平面ADD₁A₁的交线上即可．

解答： 证明：（1）∵A₁C∩平面BDC₁=O，∴O∈A₁C，O∈平面BDC₁；
又∵A₁C?平面ACC₁A₁，∴O∈平面ACC₁A₁；
∵AC、BD交于点M，∴M∈AC，M∈BD；
又AC?平面ACC₁A₁，BD?平面BDC₁，
∴M∈平面ACC₁A₁，M∈平面BDC₁；
又C₁∈平面ACC₁A₁，C₁∈平面BDC₁；
∴C₁、O、M三点在平面ACC₁A₁与平面BDC₁的交线上，
∴C₁、O、M三点共线；
（2）∵E为AB的中点，F为AA₁的中点，
∴EF∥BA₁，
又∵BC∥A₁D₁，BC=A₁D₁，
∴四边形BCD₁A₁是平行四边形，
∴BA₁∥CD₁；
∴EF∥CD₁，
∴E、F、C、D₁四点共面；
（3）∵平面ABCD∩平面ADD₁A₁=AD，
设CE与D₁F交于一点P，则：
P∈CE，CE?平面ABCD，
∴P∈平面ABCD；
同理，P∈平面ADD₁A₁，
∴P∈平面ABCD∩平面ADD₁A₁=AD，
∴直线CE、D₁F、DA三线交于一点P，
即三线共点．

点评：本题考查了空间中的点共线，线共点以及线共面的证明问题，是基础题目．