Question

若函数f（x）满足：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是R；（Ⅱ）对任意x₁，x₂∈R，有f（x₁+x₂）+f（x₁-x₂）=2f（x₁）f（x₂）；（Ⅲ）f（1）=

3

2

，则下列命题正确的是

 

（只写出所有正确命题的序号）
①函数f（x）是奇函数；
②函数f（x）是偶函数；
③对任意n₁，n₂∈N，若n₁＜n₂，则f（n₁）＜f（n₂）；
④对任意x∈R，有f（x）≥-1．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：根据抽象函数的定义和关系式结合函数奇偶性的定义即可判断①②，利用赋值法可以判断③④．

解答： 解：令x₁=1，x₂=0，f（1+0）+f（1-0）=2f（1）f（0），
即2f（1）=2f（1）f（0），
∵f（1）=

3

2

，∴f（0）=1．
令x₁=0，x₂=x，
则f（x）+f（-x）=2f（0）f（x）=2f（x），
则f（-x）=f（x），
故函数f（x）为偶函数，故②正确，①错误．
∵f（1）=

3

2

，
∴f（1+1）+f（1-1）=2f（1）f（1），
即f（2）=2f²（1）-f（0）=2×（

3

2

）²-1=

7

2

，
f（2+1）+f（1）=2f（1）f（2），
即f（3）=2f（1）f（2）-f（1）=2×

3

2

×

7

2

-

3

2

=

18

2

，
同理f（4）=

47

2

，
由归纳推理得对任意n₁，n₂∈N，若n₁＜n₂，则f（n₁）＜f（n₂）正确；故③正确，
令x₁=x₂=x，则由f（x₁+x₂）+f（x₁-x₂）=2f（x₁）f（x₂）
得f（2x）+f（0）=2f（x）f（x）=2f²（x），
即f（2x）+1=2f²（x）≥0，
∴f（2x）+1≥0，即f（2x）≥-1．
∴对任意x∈R，有f（x）≥-1．故④正确．

点评：本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法结合函数奇偶性的定义是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．