Question

设△ABC的角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，且

AB

•

AC

=S
（1）若b=2，c=

5

，求a的值；
（2）若B=

π

4

，c=3，求△ABC的面积S．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,正弦定理,余弦定理

专题：平面向量及应用

分析：（1）由条件求得tanA的值，可得sinA和cosA的值，再利用余弦定理求得a的值．
（2）求出sinC=sin（A+B）的值，再利用正弦定理求得a的值，可得△ABC的面积S=

1

2

ac•sinB 的值．

解答： 解：（1）由题意可得

1

2

bc•sinA=bc•cosA，即tanA=2，∴sinA=

2 5

5

，cosA=

5

5

．
再由余弦定理可得a=

b2+c2-2bc•cosA

=

4+5-4 5 • 5 5

=

5

．
（2）由（1）可得sinA=

2 5

5

，cosA=

5

5

，又B=

π

4

，c=3，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=

2 5

5

•

2

2

+

5

5

•

2

2

=

3 10

10

．
正弦定理可得

a

sinA

=

c

sinC

，即

a

2 5 5

=

3

3 10 10

，求得a=2

2

，
故△ABC的面积S=

1

2

ac•sinB=

1

2

×2

2

×3×

2

2

=3．

点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理、两角和的正弦公式、诱导公式、三角形的面积公式，属于中档题．