Question

（理）长度为1的动弦AB在抛物线y²=4x上滑动，AB中点到y轴距离的最小值为（　　）

• A、

  1

  4

• B、

  1

  8

• C、

  1

  16

• D、不存在

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：设抛物线的准线为l，AB的中点为M，过A作AA₁⊥l于A₁，过B作BB₁⊥l于B₁，过M作MM₁⊥l于M₁，交x轴于N，又设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则|MN|=|MM₁|-|M₁N|=

|AA1|+|BB1|

2

-1，问题转化为求|AA₁|+|BB₁|的最小值，而|AA₁|+|BB₁|=x₁+x₂+2，可联立直线AB：x=my+a与抛物线方程，得到x₁+x₂的表达式，再由|AB|=1得m与a的关系，根据此关系式可探求x₁+x₂的最小值，从而得到|MN|的最小值．

解答： 解：设抛物线的准线为l，弦AB的中点为M，
过A作AA₁⊥l于A₁，过B作BB₁⊥l于B₁，过M作MM₁⊥l于M₁，MM₁交x轴于N，如右图所示．
又设直线AB的方程为 x=my+a，点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由

y2=4x x=my+a

，消去x，得y²-4my-4a=0，且△=16m²+16a＞0，
由韦达定理得

y1+y2=4m y1•y2=-4a

，从而|AB|=

1+m2

•

(y1+y2)2-4y1y2

=4

(1+m2)(m2+a)

，
又|AB|=1，得4

(1+m2)(m2+a)

=1，两边平方，并整理得a=

1-16(m4+m2)

16(m2+1)

．…①
由梯形AA₁B₁B中位线的性质知，|MM₁|=

|AA1|+|BB1|

2

，
由于抛物线的准线方程为x=-1，所以|MN|=|MM₁|-|NM₁|=

|AA1|+|BB1|

2

-1，…②
要使AB中点到x轴的距离最小，即|MN|最小，只需|AA₁|+|BB₁|最小，
而|AA₁|+|BB₁|=x₁+x₂+2=（my₁+a）+（my₂+a）+2=m（y₁+y₂）+2+2a=4m²+2+2a，…③
将①代入③中，得|AA₁|+|BB₁|=4m2+2+2•

1-16(m4+m2)

16(m2+1)

=2(m2+1)+

1

8(m2+1)

．
令m²+1=t，t≥1，则|AA₁|+|BB₁|=2t+

1

8t

，
令f(x)=2t+

1

8t

，则f′(t)=2-

1

8t2

=

16t2-1

8t2

＞0，
∴f（t）在[0，+∞）上为增函数，∴f（x）≥f(1)=

17

8

，即|AA₁|+|BB₁|有最小值

17

8

，
将此值代入②中，得|MN|的最小值为

1

16

，即AB中点到y轴距离的最小值为

1

16

．
故答案为：C．

点评：1．本题涉及抛物线中距离的最值问题，一般思路是转化为函数的最值问题处理，转化时应充分挖掘图形的几何特征，并注意直线方程的巧设及韦达定理的灵活运用．
2．从求解过程可以看到，|MN|=

1

16

时，m=0，此时直线方程为x=a，即A（a，

1

2

），B（a，-

1

2

），将A点坐标代入抛物线方程中，得a=

1

16

．事实上，由于|AB|很小，直接考虑AB垂直于x轴这种特殊情况，立马可得AB中点到y轴的距离为

1

16

，可以排除A，B选项，值得注意的是，如果|AB|较大（相对于焦点到准线的距离来说），如|AB|=8，|MN|就不是在这种特殊情况下取最小值了，这时可以利用抛物线的定义求解．