Question

4．已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²-n（n∈N^*）．正项等比数列{b_n}的首项b₁=1，且3a₂是b₂，b₃的等差中项．
（I）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（II）若c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）数列{a_n}的前n项和s_n=n²-n，当n=1时，a₁=s₁；当n≥2时，a_n=s_n-s_n-1．可得a_n．利用等比数列的通项公式可得b_n．
（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（I）数列{a_n}的前n项和s_n=n²-n，当n=1时，a₁=s₁=0；
当n≥2时，a_n=s_n-s_n-1=（n²-n）-[（n-1）²-（n-1）]=2n-2．
当n=1时上式也成立，∴a_n=2n-2．
设正项等比数列{b_n}的公比为q，则，b₂=q，b₃=q²，3a₂₌₆，
∵3a₂是b₂，b₃的等差中项，∴2×6=q+q²，得q=3或q=-4（舍去），
∴b_n=3^n-1
（Ⅱ）由（Ⅰ）知c_n=a_n•b_n=（2n-2）3^n-1=2（n-1）3^n-1，
∴数列{c_n}的前n项和T_n=2×0×3⁰+2×1×3¹+2×2×3²+…+2（n-2）3^n-2+2（n-1）3^n-1，…①
                           3T_n=2×0×3¹+2×1×3²+2×2×3²+…+2（n-2）3^n-1，+2（n-1）3^n，…②
①-②得：-2T_n=2×3¹+2×3²+…+2×3^n-1-2（n-1）3ⁿ 
=2×$\frac{3（1-{3}^{n-1}）}{1-3}-2（n-1）{3}^{n}$
=3n-3-2（n-1）3ⁿ
=（3-2n）3ⁿ-3
∴T_n=$\frac{2n-3}{2}•{3}^{n}+\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、及数列递推公式，“错位相减法”，属于中档题．