Question

16．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{2^x}（{x≤0}）\\{x^2}（{x＞0}）\end{array}\right.$若函数g（x）=f（x）-k（x-1）有且只有一个零点，则实数k的取值范围是k＜-1或k=4．

Answer 1

分析 若函数g（x）=f（x）-k（x-1）有且只有一个零点，则函数y=f（x）与函数y=k（x-1）的图象有且只有一个交点，画出函数y=f（x）与函数y=k（x-1）的图象，数形结合，可得答案．

解答 解：若函数g（x）=f（x）-k（x-1）有且只有一个零点，
则函数y=f（x）与函数y=k（x-1）的图象有且只有一个交点，
函数y=f（x）与函数y=k（x-1）的图象如下图所示：

函数y=k（x-1）的图象恒过（1，0）点，
当直线经过（0，1）点时，k=-1，
当直线与y=x²，的图象相切时，
k（x-1）=x²的△=k²-4k=0，
解得：k=4，或k=0（舍去），
由图可得：k＜-1或k=4．
故答案为：k＜-1或k=4

点评 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，数形结合思想，函数的图象，难度中档．