Question

12．近年来，某地雾霾污染指数达到重度污染级别．经环保部门调查，该地工厂废气排放污染是形成雾霾的主要原因．某科研单位进行了科技攻关，将工业废气中的某些成分转化为一中可利用的化工产品．已知该项目每年投入资金3000万元，设每年处理工厂废气量为x万升，每万升工厂废气处理后得到可利用的化工产品价值为c（x）万元，其中c（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-3x+\frac{20}{x}+192，0＜x≤50}\\{-\frac{7200}{{x}^{2}}+\frac{3640}{x}-2，x＞50}\end{array}\right.$．设该单位的年利润为f（x）（万元）．
（I）求年利润f（x）（万元）关于处理量x（万升）的函数表达式；
（II）该单位年处理工厂废气量为多少万升时，所获得的利润最大，并求出最大利润？

Answer 1

分析 （I）利用f（x）=xc（x）-3000，即可得出结论；
（II）分段讨论，0＜x≤50时，f（x）=xc（x）-3000=-3x²+192x-2980，x=32时，f（x）_max=f（32）=92；x＞50时，f（x）=xc（x）-3000=-$\frac{7200}{x}$-2x+640=640-（2x+$\frac{7200}{x}$），利用基本不等式，可得结论．

解答 解：（I）0＜x≤50时，f（x）=xc（x）-3000=-3x²+192x-2980，
x＞50时，f（x）=xc（x）-3000=-$\frac{7200}{x}$-2x+640，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-3{x}^{2}+192x-2980，0＜x≤50}\\{-\frac{7200}{x}-2x+640，x＞50}\end{array}\right.$；
（II）0＜x≤50时，f（x）=xc（x）-3000=-3x²+192x-2980，x=32时，f（x）_max=f（32）=92；
x＞50时，f（x）=xc（x）-3000=-$\frac{7200}{x}$-2x+640=640-（2x+$\frac{7200}{x}$）≤400，
当且仅当2x=$\frac{7200}{x}$，即x=60时，f（x）_max=f（60）=400，
∵400＞92，
∴该单位年处理工厂废气量为60万升时，所获得的利润最大，最大利润为400万元．

点评 本题考查了分段函数模型的应用题目，并且考查了求二次函数的最值，利用基本不等式求函数的最值等问题，是中档题．