Question

抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F，O为坐标原点；当抛物线上点N的纵坐标为1时，|NF|=2，已知直线l经过抛物线C的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点
（1）求抛物线C的方程；
（2）若△AOB的面积为4，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由抛物线的定义及点N的纵坐标为1，得|NF|=

p

2

+yN=

p

2

+1，结合|NF|=2，求出p的值，即可求抛物线C的方程；
（2）设直线l的方程为：y=kx+1，代入抛物线方程，利用弦长公式求出|AB|，再求出O到AB的距离，利用△AOB的面积为4，求出k的值，即可求直线l的方程．

解答： 解：（1）由已知得焦点F(0，

p

2

)，准线方程为y=-

p

2

，
由抛物线的定义及点N的纵坐标为1，得|NF|=

p

2

+yN=

p

2

+1
又|NF|=2，
∴

p

2

+1=2∴p=2，
∴抛物线的方程为x²=4y（4分）
（2）依题意设直线l的方程为：y=kx+1（k必存在）

y=kx+1 x2=4y

⇒x2-4kx-4=0，…（6分）
则△=16k²+16＞0，
设直线l与抛物线的交点坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则有x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，…（8分）
∴|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=4(1+k2)…（10分）
∵O到AB的距离d=

1

k2+1

，
∴S△AOB=

1

2

|AB|d=2

k2+1

=4，
∴k=±

3

，
∴直线方程为y=±

3

x+1…..（12分）

点评：本题考查抛物线的定义与方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查弦长的计算，考查三角形面积的计算，正确运用韦达定理是关键．