Question

已知直线y=kx+1与双曲线x²-y²=1的左支相交于不同的两点A，B，线段AB的中点为点M，定点C（-2，0）．
（1）求实数k的取值范围；
（2）求直线MC在y轴上的截距的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由直线y=kx+1代入双曲线x²-y²=1，可得（1-k²）x²+2kx-2=0，再直线y=kx+1与双曲线x²-y²=1的左支相交于不同的两点A，B，利用根的判别式和韦达定理能求出k的取值范围．
（2）由直线l经过C（-2，0）及线段AB的中点M，知直线MC的方程为x-（-2k²+k+2）y+2=0，令x=0，解得直线l在y轴上的截距b=

2

-2k2+k+2

．设f（k）=-2k²+k+2=-2（k-

1

4

）²+

17

8

，则f（k）在（1，

2

）上是减函数，由此能求出直线l在y轴上的截距b的取值范围．

解答： 解：（1）直线y=kx+1代入双曲线x²-y²=1，可得（1-k²）x²-2kx-2=0，
∵直线y=kx+1与双曲线x²-y²=1的左支相交于不同的两点A，B，
∴1-k²≠0，△=4k²+8（1-k²）＞0，

2k

1-k2

＜0，

-2

1-k2

＞0
∴解得1＜k＜

2

．
∴k的取值范围是（1，

2

）．
（2）设M（x₀，y₀），∴x₀=

k

1-k2

，y₀=kx₀+1=

1

1-k2

，
∵直线l经过C（-2，0）及线段AB的中点M，
∴直线MC的方程为：

y

1 1-k2

=

x+2

k 1-k2 +2

，整理，得x-（-2k²+k+2）y+2=0，
令x=0，解得直线l在y轴上的截距b=

2

-2k2+k+2

．
设f（k）=-2k²+k+2=-2（k-

1

4

）²+

17

8

，
则f（k）在（1，

2

）上是减函数，
∴f（

2

）＜f（k）＜f（1），且f（k）≠0，
∴-2+

2

＜f（k）＜1，且f（k）≠0，
∴b＜-2-

2

，或b＞2，
故直线l在y轴上的截距b的取值范围是（-∞，-2-

2

）∪（2，+∞）．

点评：本题考查直线的斜率的取值范围的求法，考查直线纵截距的取值范围的求法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．．