Question

已知数列{a_n}为等差数列，a₂=5，a₆=13，{b_n}为等比数列，b₂=a₄，b_n+1=3b_n．
（1）求通项公式a_n，b_n；
（2）求{a_n•b_n}前n项和S_n．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件利用等差数列的通项公式，求出a₁=3，d=2，从而a_n=2n+1．由{b_n}为等比数列，结合已知条件求得b_n=3ⁿ．
（2）由a_n•b_n=（2n+1）•3ⁿ，利用错位相减法能求出{a_n•b_n}前n项和S_n．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}为等差数列，a₂=5，a₆=13，
∴

a1+d=5 a1+5d=13

，
解得a₁=3，d=2，
∴a_n=3+（n-1）×2=2n+1．
∵{b_n}为等比数列，b₂=a₄，b_n+1=3b_n．
∴b₂=2×4+1=9，q=

bn+1

bn

=3，
∴b₁=3，∴b_n=3ⁿ．
（2）a_n•b_n=（2n+1）•3ⁿ，
S_n=3•3+5•3²+7•3³+…+（2n+1）•3ⁿ，①
3Sn=3•32+5•33+7•34+…+(2n+1)•3n+1，②
①-②，得：-2S_n=9+2（3²+3³+…+3ⁿ）-（2n+1）•3ⁿ⁺¹
=9+2×

9(1-3n-1)

1-3

-（2n+1）•3ⁿ⁺¹
=3ⁿ⁺¹-（2n+1）•3ⁿ⁺¹，
∴S_n=n•3ⁿ⁺¹．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．