Question

已知函数f（x）=alnx+

2a2

x

+x．（a≠0）．
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x-2y=0垂直，求实数a的值；
（2）若a＞0，求f（x）的最小值g（a）；
（3）在（2）的基础上求证：g（a）≥-e^-4．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出原函数的导函数，根据曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x-2y=0垂直，可得f′（1）=-2，由此可得实数a的值；
（2）求出原函数的导函数，由导函数的符号确定原函数的单调区间，求出极值点，得到极小值即最小值；
（3）对（2）中求出的g（a）求导，利用导数求其最小值，即可证得g（a）≥-e^-4．

解答： （1）解：f（x）的定义域为{x|x＞0}，f′（x）=

a

x

-

2a2

x2

+1（x＞0），
根据题意，有f′（1）=-2，
∴2a²-a-3=0，解得a=-1或a=

3

2

；
（2）解：由（1）得，f′（x）=

(x-a)(x+2a)

x2

（x＞0）．
当a＞0时，∵x＞0，
由f′（x）＞0得（x-a）（x+2a）＞0，解得x＞a；
由f′（x）＜0得（x-a）（x+2a）＜0，解得0＜x＜a．
∴函数f（x）在（a，+∞）上单调递增，在（0，a）上单调递减．
∴f（x）在（0，+∞）上有极小值，也就是最小值为g（a）=a（lna+3）；
（3）证明：由（2）知，g（a）=a（lna+3），
g′（a）=lna+3+a•

1

a

=lna+4．
令g′（a）=0，得a=e^-4．
当0＜a＜e^-4时，g′（a）＜0，函数g（a）在（0，e^-4）上为减函数；
当a＞e^-4时，g′（a）＞0，函数g（a）在（e^-4，+∞）上为增函数．
∴g（a）在（0，+∞）上有唯一极值点，且是极小值点，从而也是g（a）的最小值点．
∴g(a)min=e-4(lne-4+3)=-e-4．
∴g（a）≥-e^-4．

点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的最值，考查了计算能力，是压轴题．