Question

SC为球O的直径，A，B是该球球面上的两点，AB=2，∠ASC=∠BSC=

π

4

，若棱锥A-SBC的体积为

4 3

3

，则球O的体积为（　　）

• A、

  4π

  3

• B、

  32π

  3

• C、27π
• D、4

  3

  π

Answer 1

考点：球的体积和表面积,球内接多面体

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：由题意求出SA=AC=SB=BC=

2

R，∠SAC=∠SBC=90°，说明球心O与AB的平面与SC垂直，求出OAB的面积，利用棱锥S-ABC的体积，求出R，即可求球O的体积．

解答： 解：如图：由题意，设球的直径SC=2R，A，B是该球球面上的两点．
AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，求出SA=AC=SB=BC=

2

R，
∠SAC=∠SBC=90°，所以平面ABO与SC垂直，则S_△ABO=

3

4

R2
进而可得：V_S-ABC=V_C-AOB+V_S-AOB，
所以棱锥S-ABC的体积为：

1

3

•

3

4

R2•2R=

4 3

3

，
所以R=2，
所以球O的体积为

32π

3

．
故选B．

点评：本题是基础题，考查球的内接三棱锥的体积，考查空间想象能力，计算能力，球心O与AB的平面与SC垂直是本题的解题关键，常考题型．