Question

证明：函数f（x）=

x

x+2

在区间（0，+∞）上是增函数．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：设?0＜x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）＜0，从而证出函数的单调性．

解答： 证明：设?0＜x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）
=

x1

x1+2

-

x2

x2+2

=

2(x1-x2)

(x1+2)(x2+2)

，
∵0＜x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁+2＞0，x₂+2＞0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）=

x

x+2

在区间（0，+∞）上是增函数．

点评：本题考查了函数的单调性，导数的应用，是一道基础题．