Question

定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）f（x）=-2（f（x）≠0），且在区间（2013，2014）上单调递增，已知α，β是锐角三角形的两个内角，则f（sinα）、f（cosβ）的大小关系是（　　）

• A、f（sinα）＜f（cosβ）
• B、f（sinα）＞f（cosβ）
• C、f（sinα）=f（cosβ）
• D、以上情况均有可能

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：由条件可得f（x）是周期为2的偶函数，在（-1，0）上单调递增，故函数在（0，1）上单调递减．
根据α，β是锐角三角形的两个内角，可得

π

2

＞α＞

π

2

-β＞0，可得1＞sinα＞sin（

π

2

-β）=cosβ＞0．
从而得到f（sinα）与f（cosβ）的大小关系．

解答： 解：∵定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）f（x）=-2，
∴f（x）=

-2

f(x+1)

=

-2

-2 f(x+2)

=f（x+2），
∴f（x）是周期为2的偶函数．
∵函数f（x）在区间（2013，2014）上单调递增，
故函数在（-1，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减．
∵α，β是锐角三角形的两个内角，∴α+β＞

π

2

，∴

π

2

＞α＞

π

2

-β＞0，
∴1＞sinα＞sin（

π

2

-β）=cosβ＞0．
则f（sinα）＜f（cosβ），
故选：A．

点评：本题考查函数的奇偶性和单调性，考查三角函数的单调性，属于中档题．